Τρόπος υπολογισμού της στιγμιαίας ταχύτητας

Ταχύτηταορίζεται ως η ταχύτητα ενός αντικειμένου σε μια δεδομένη κατεύθυνση. Σε πολλές κοινές καταστάσεις, για να βρούμε την ταχύτητα, χρησιμοποιούμε την εξίσωση v = s / t, όπου το v ισούται με την ταχύτητα, το s ισούται με τη συνολική μετατόπιση από την αρχική θέση του αντικειμένου, και t ισούται με το χρόνο που έχει παρέλθει. Ωστόσο, αυτό τεχνικά δίνει μόνο το αντικείμενο μέση τιμή ταχύτητα πάνω από το μονοπάτι του. Χρησιμοποιώντας το λογισμό, μπορείτε να υπολογίσετε την ταχύτητα ενός αντικειμένου ανά πάσα στιγμή κατά τη διαδρομή του. Αυτό ονομάζεται στιγμιαία ταχύτητα και ορίζεται από την εξίσωση v = (ds) / (dt) , ή, με άλλα λόγια, το παράγωγο του αντικειμένουμέση ταχύτηταεξίσωση.

Βήματα

Μέρος ένας από 3: Υπολογισμός στιγμιαίας ταχύτητας

1. ένας Ξεκινήστε με μια εξίσωση για την ταχύτητα από την άποψη της μετατόπισης. Για να πάρουμε τη στιγμιαία ταχύτητα ενός αντικειμένου, πρώτα πρέπει να έχουμε μια εξίσωση που να μας λέει τη θέση του (από την άποψη της μετατόπισης) σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει να έχει τη μεταβλητή μικρό από τη μία πλευρά από μόνη της και τ από την άλλη (αλλά όχι απαραίτητα από μόνη της), ως εξής:
   

   s = -1,5t²+ 10t + 4

   πώς να φοράτε μπράτσο για τενοντίτιδα

   • Σε αυτήν την εξίσωση, οι μεταβλητές είναι:

     Μετατόπιση = s . Η απόσταση που έχει διανύσει το αντικείμενο από την αρχική του θέση. Για παράδειγμα, εάν ένα αντικείμενο πηγαίνει 10 μέτρα μπροστά και 7 μέτρα πίσω, η συνολική μετατόπισή του είναι 10-7 = 3 μέτρα (όχι 10 + 7 = 17 μέτρα).

     Χρόνος = t . Αυτονόητο. Συνήθως μετριέται σε δευτερόλεπτα.

2. 2 Πάρτε το παράγωγο της εξίσωσης. οπαράγωγομιας εξίσωσης είναι απλώς μια διαφορετική εξίσωση που σας λέει την κλίση της σε οποιαδήποτε δεδομένη χρονική στιγμή. Για να βρείτε το παράγωγο του τύπου μετατόπισης, διαφοροποιήστε τη λειτουργία με αυτόν τον γενικό κανόνα για την εύρεση παραγώγων: Εάν y = a * x^ν, Παράγωγο = a * n * x^ν-1 . Αυτός ο κανόνας εφαρμόζεται σε κάθε όρο στην πλευρά «t» της εξίσωσης.
   • Με άλλα λόγια, ξεκινήστε περνώντας από την πλευρά 't' της εξίσωσης από αριστερά προς τα δεξιά. Κάθε φορά που φτάνετε στο 't', αφαιρέστε το 1 από τον εκθέτη και πολλαπλασιάστε ολόκληρο τον όρο με τον αρχικό εκθέτη. Τυχόν σταθεροί όροι (όροι που δεν περιέχουν 't') θα εξαφανιστούν επειδή πολλαπλασιάζονται με το 0. Αυτή η διαδικασία δεν είναι στην πραγματικότητα τόσο σκληρή όσο ακούγεται - ας αντλήσουμε την εξίσωση στο παραπάνω βήμα ως παράδειγμα:
     

     s = -1,5t²+ 10t + 4
     (2) -1,5t^(2-1)+ (1) 10t^έντεκα+ (0) 4p⁰
     -3τ^ένας+ 10 τόνους⁰
     -3t + 10

     
     
     

3. 3 Αντικαταστήστε το 's' με 'ds / dt. «Για να δείξουμε ότι η νέα μας εξίσωση είναι παράγωγο της πρώτης, αντικαθιστούμε το« s »με την ένδειξη« ds / dt ». Τεχνικά, αυτή η σημειογραφία σημαίνει «το παράγωγο του s σε σχέση με το t». Ένας απλούστερος τρόπος να το σκεφτείτε είναι ότι το ds / dt είναι ακριβώς η κλίση οποιουδήποτε δεδομένου σημείου στην πρώτη εξίσωση. Για παράδειγμα, για να βρείτε την κλίση της γραμμής από s = -1,5t²+ 10t + 4 στο t = 5, απλώς θα συνδέσαμε το '5' στο t στο παράγωγο.
   • Στο τρέχον παράδειγμά μας, η τελική εξίσωση πρέπει τώρα να μοιάζει με αυτό:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 4 Συνδέστε μια τιμή t για τη νέα σας εξίσωση για να βρείτε στιγμιαία ταχύτητα. Τώρα που έχετε την εξίσωση παραγώγων σας, η εύρεση της στιγμιαίας ταχύτητας ανά πάσα στιγμή είναι εύκολη. Το μόνο που πρέπει να κάνετε είναι να επιλέξετε μια τιμή για το t και να την συνδέσετε στην παράγωγή σας εξίσωση. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε τη στιγμιαία ταχύτητα στο t = 5, θα αντικαταστήσαμε το '5' με το t στο παράγωγο ds / dt = -3 + 10. Στη συνέχεια, θα λύσουμε την εξίσωση ως εξής:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 μέτρα / δευτερόλεπτο

   • Σημειώστε ότι χρησιμοποιούμε την παραπάνω ετικέτα «μέτρα / δευτερόλεπτο». Δεδομένου ότι έχουμε να κάνουμε με μετατόπιση σε όρους μετρητών και χρόνου σε δευτερόλεπτα και η ταχύτητα γενικά είναι απλώς μετατόπιση με την πάροδο του χρόνου, αυτή η ετικέτα είναι κατάλληλη.
   Διαφήμιση

Μέρος 2 από 3: Εκτίμηση της στιγμιαίας ταχύτητας γραφικά

1. ένας Σχεδιάστε την μετατόπιση του αντικειμένου σας με την πάροδο του χρόνου. Στην παραπάνω ενότητα, αναφέραμε ότι τα παράγωγα είναι απλώς τύποι που μας επιτρέπουν να βρούμε την κλίση σε οποιοδήποτε σημείο για την εξίσωση για την οποία παίρνεις το παράγωγο. Στην πραγματικότητα, εάν αντιπροσωπεύετε μια μετατόπιση ενός αντικειμένου με μια γραμμή σε ένα γράφημα, Η κλίση της γραμμής σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο είναι ίση με τη στιγμιαία ταχύτητα του αντικειμένου σε αυτό το σημείο.
   • Για να σχεδιάσετε τη μετατόπιση ενός αντικειμένου, χρησιμοποιήστε τον άξονα x για να αντιπροσωπεύσετε τον χρόνο και τον άξονα y για να αντιπροσωπεύσετε την μετατόπιση. Τότε, απλάσημεία πλοκήςσυνδέοντας τιμές για t στην εξίσωση μετατόπισης, λαμβάνοντας τιμές s για τις απαντήσεις σας και επισημαίνοντας τα σημεία t, s (x, y) στο γράφημα.
   • Σημειώστε ότι το γράφημα μπορεί να εκτείνεται κάτω από τον άξονα x. Εάν η γραμμή που αντιπροσωπεύει την κίνηση του αντικειμένου σας πέσει κάτω από τον άξονα x, αυτό αντιπροσωπεύει το αντικείμενο σας που κινείται πίσω από το σημείο που ξεκίνησε. Γενικά, το γράφημα δεν εκτείνεται πίσω από τον άξονα y - δεν μετράμε συχνά την ταχύτητα για αντικείμενα που κινούνται προς τα πίσω στο χρόνο!
2. 2 Επιλέξτε ένα σημείο P και ένα σημείο Q που βρίσκεται κοντά του στη γραμμή. Για να βρούμε μια κλίση μιας γραμμής σε ένα σημείο P, χρησιμοποιούμε ένα τέχνασμα που ονομάζεται «λήψη ορίου». Η λήψη ενός ορίου συνεπάγεται τη λήψη δύο σημείων (P, συν Q, ένα σημείο κοντά του) στην καμπύλη γραμμή και την εύρεση της κλίσης της γραμμής που τις συνδέει ξανά και ξανά καθώς η απόσταση μεταξύ P και Q μειώνεται.
   • Ας πούμε ότι η γραμμή μετατόπισης περιέχει τα σημεία (1,3) και (4,7). Σε αυτήν την περίπτωση, εάν θέλουμε να βρούμε την κλίση στο (1,3), μπορούμε να ρυθμίσουμε (1,3) = Ρ και (4.7) = Q .
3. 3 Βρείτε την κλίση μεταξύ P και Q. Η κλίση μεταξύ P και Q είναι η διαφορά στις τιμές y για P και Q έναντι της διαφοράς τιμών x για P και Q. Με άλλα λόγια, Η = (και_Ερ- Υ_Π) / (Χ_Ερ- Χ_Π) , όπου H είναι η κλίση μεταξύ των δύο σημείων. Στο παράδειγμά μας, η κλίση μεταξύ P και Q είναι:
   

   Η = (και_Ερ- Υ_Π) / (Χ_Ερ- Χ_Π)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   Η = (4) / (3) = 1.33

   
   
   

4. 4 Επαναλάβετε αρκετές φορές, μετακινώντας το Q πιο κοντά στο P. Ο στόχος σας εδώ είναι να κάνετε την απόσταση μεταξύ P και Q μικρότερη και μικρότερη μέχρι να φτάσει κοντά σε ένα σημείο. Όσο μικρότερη είναι η απόσταση μεταξύ P και Q, τόσο πιο κοντά θα είναι η κλίση των μικροσκοπικών τμημάτων της γραμμής σας στην κλίση στο σημείο P. Ας το κάνουμε αυτό μερικές φορές για την παραδειγματική εξίσωση, χρησιμοποιώντας τα σημεία (2,4.8), (1,5 , 3,95) και (1,25,3,49) για Q και το αρχικό σημείο (1,3) για P:
   

   Ε = (2,4.8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   Η = (1,8) / (1) = 1.8
   
   Ε = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   Η = (.95) / (. 5) = 1.9
   
   Ε = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   Η = (.49) / (. 25) = 1.96

5. 5 Υπολογίστε την κλίση για ένα απέραντα μικρό διάστημα στη γραμμή. Καθώς το Q πλησιάζει και πλησιάζει στο P, το H θα πλησιάζει και θα πλησιάζει στην πλαγιά στο σημείο P. Τελικά, σε απέραντο μικρό διάστημα, το H θα ισούται με την κλίση στο P. Επειδή δεν είμαστε σε θέση να μετρήσουμε ή να υπολογίσουμε απεριόριστα μικρό διάστημα, απλώς εκτιμούμε την κλίση στο P μόλις είναι σαφές από τα σημεία που έχουμε δοκιμάσει.
   • Στο παράδειγμά μας, καθώς μετακινήσαμε το Q πιο κοντά στο P, έχουμε τιμές 1,8, 1,9 και 1,96 για H. Δεδομένου ότι αυτοί οι αριθμοί φαίνεται να πλησιάζουν το 2, μπορούμε να πούμε ότι 2 είναι μια καλή εκτίμηση για την κλίση στο P.
   • Θυμηθείτε ότι η κλίση σε ένα δεδομένο σημείο σε μια γραμμή είναι ίση με το παράγωγο της εξίσωσης της γραμμής σε αυτό το σημείο. Δεδομένου ότι η γραμμή μας δείχνει την μετατόπιση του αντικειμένου μας με την πάροδο του χρόνου και, όπως είδαμε στην παραπάνω ενότητα, η στιγμιαία ταχύτητα ενός αντικειμένου είναι το παράγωγο της μετατόπισης του σε ένα δεδομένο σημείο, μπορούμε επίσης να πούμε ότι 2 μέτρα / δευτερόλεπτο είναι μια καλή εκτίμηση για τη στιγμιαία ταχύτητα σε t = 1.
   Διαφήμιση

Μέρος 3 από 3: Προβλήματα δειγμάτων

1. ένας Βρείτε την στιγμιαία ταχύτητα στο t = 4 δεδομένης της εξίσωσης μετατόπισης s = 5t³- 3t²+ 2t + 9. Αυτό είναι ακριβώς όπως το παράδειγμά μας στην πρώτη ενότητα, εκτός από το ότι έχουμε να κάνουμε με μια κυβική εξίσωση και όχι μια τετραγωνική εξίσωση, έτσι μπορούμε να την λύσουμε με τον ίδιο τρόπο.
   • Πρώτον, θα πάρουμε το παράγωγο της εξίσωσης μας:
     

     s = 5t³- 3t²+ 2t + 9
     s = (3) 5t^{(3 - 1)}- (2) 3ρ^{(είκοσι ένα)}+ (1) 2t^{(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
     15t(2)- 6t(ένας)+ 2 τόνους(0)
     15t(2)- 6t + 2}

     λαβή τένις μέγεθος 3

   • Στη συνέχεια, θα συνδέσουμε την τιμή μας για t (4):
     

     s = 15t⁽²⁾- 6t + 2
     15 (4)⁽²⁾- 6 (4) + 2
     15 (16) - 6 (4) + 2
     240 - 24 + 2 = 218 μέτρα / δευτερόλεπτο

     
     
     

2. 2 Χρησιμοποιήστε γραφική εκτίμηση για να βρείτε την στιγμιαία ταχύτητα στο (1,3) για την εξίσωση μετατόπισης s = 4t²- τ. Για αυτό το πρόβλημα, θα χρησιμοποιήσουμε το (1,3) ως σημείο P, αλλά θα πρέπει να βρούμε μερικά άλλα σημεία κοντά του για να το χρησιμοποιήσουμε ως σημεία Q. Στη συνέχεια, είναι απλώς θέμα εύρεσης των τιμών Η και εκτίμηση.
   • Αρχικά, ας βρούμε τα σημεία Q σε t = 2, 1.5, 1.1 και 1.01.
     

     s = 4t²- τ
     
     t = 2: s = 4 (2)²- (δύο)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, έτσι Ε = (2,14)
     
     t = 1.5: s = 4 (1.5)²- (1.5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, έτσι Q = (1,5,7,5)
     
     t = 1.1: s = 4 (1.1)²- (1.1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, έτσι Ε = (1.1,3.74)
     
     t = 1.01: s = 4 (1.01)²- (1.01)
     4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, έτσι Ε = (1.01.3.0704)

   • Στη συνέχεια, ας πάρουμε τις τιμές H:
     

     Ε = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     Η = (11) / (1) = έντεκα
     
     Q = (1,5,7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     Η = (4,5) / (. 5) = 9
     
     Ε = (1.1,3.74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     Η = (.74) / (. 1) = 7.3
     
     Ε = (1.01.3.0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
     Η = (.0704) / (. 01) = 7.04

   • Δεδομένου ότι οι τιμές H φαίνεται να πλησιάζουν πολύ στο 7, μπορούμε να το πούμε αυτό 7 μέτρα / δευτερόλεπτο είναι μια καλή εκτίμηση για τη στιγμιαία ταχύτητα στο (1,3).
   Διαφήμιση

Q&A κοινότητας

Αναζήτηση Προσθήκη νέας ερώτησης

• Ερώτηση Ποια είναι η διαφορά μεταξύ στιγμιαίας και μέσης ταχύτητας; Η στιγμιαία είναι εκείνη τη στιγμή, ενώ ο μέσος όρος είναι ο μέσος όρος ολόκληρου του χρονικού διαστήματος.
• Ερώτηση Πώς μπορώ να υπολογίσω τη στιγμιαία επιτάχυνση; Η στιγμιαία επιτάχυνση μπορεί να θεωρηθεί ως η τιμή του παραγώγου της στιγμιαίας ταχύτητας. Για παράδειγμα: s = 5 (t ^ 3) - 3 (t ^ 2) + 2t + 9 v = 15 (t ^ 2) - 6t + 2 a = 30t - 6 Αν θέλουμε να μάθουμε τη στιγμιαία επιτάχυνση σε t = 4, τότε a (4) = 30 * 4 - 6 = 114 m / (s ^ 2)
• Ερώτηση Πότε είναι η στιγμιαία ταχύτητα και η μέση ταχύτητα ίδια; Η στιγμιαία ταχύτητα σας λέει την ταχύτητα ενός αντικειμένου σε μία στιγμή του χρόνου. Εάν το αντικείμενο κινείται με σταθερή ταχύτητα, τότε η μέση ταχύτητα και η στιγμιαία ταχύτητα θα είναι τα ίδια. Σε όλες τις καταστάσεις, δεν είναι πιθανό να είναι οι ίδιες.

Αναπάντητες ερωτήσεις

• Πώς μπορώ να βρω μηδενική ταχύτητα μεταξύ δύο φορές; Απάντηση
• Πώς μπορώ να βρω μηδενική ταχύτητα μεταξύ δύο φορές; Απάντηση
• Πώς μπορώ να υπολογίσω 5t + 12t ^ 2; Απάντηση

Κάντε μια ερώτηση αριστερά 200 χαρακτήρες Συμπεριλάβετε τη διεύθυνση email σας για να λάβετε ένα μήνυμα όταν απαντηθεί αυτή η ερώτηση. υποβάλλουν
Διαφήμιση

βίντεο . Χρησιμοποιώντας αυτήν την υπηρεσία, ορισμένες πληροφορίες ενδέχεται να κοινοποιηθούν στο YouTube.

Συμβουλές

• Για να βρείτε επιτάχυνση (η αλλαγή της ταχύτητας με την πάροδο του χρόνου), χρησιμοποιήστε τη μέθοδο στο πρώτο μέρος για να λάβετε μια εξίσωση παραγώγου για τη συνάρτηση μετατόπισης. Στη συνέχεια, πάρτε ένα άλλο παράγωγο, αυτή τη φορά της εξίσωσης παραγώγων σας. Αυτό θα σας δώσει μια εξίσωση για να βρείτε επιτάχυνση σε μια δεδομένη στιγμή - το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να συνδέσετε την αξία σας για το χρόνο.
• Η εξίσωση που σχετίζεται με το Υ (μετατόπιση) με το Χ (χρόνος) μπορεί να είναι πραγματικά απλή, όπως, για παράδειγμα, Υ = 6χ + 3. Σε αυτήν την περίπτωση η κλίση είναι σταθερή και δεν είναι απαραίτητο να βρούμε ένα παράγωγο για να βρούμε την κλίση, δηλαδή, ακολουθώντας το βασικό μοντέλο Y = mx + b για γραμμικά γραφήματα, 6.
• Η μετατόπιση μοιάζει με απόσταση αλλά έχει μια καθορισμένη κατεύθυνση, αυτό καθιστά τη μετατόπιση ένα διάνυσμα και την ταχύτητα κλιμακούμενη. Η μετατόπιση μπορεί να είναι αρνητική, ενώ η απόσταση θα είναι μόνο θετική.

Διαφήμιση Υποβολή συμβουλής Όλες οι υποβολές συμβουλών ελέγχονται προσεκτικά πριν από τη δημοσίευσή τους Ευχαριστούμε που υποβάλατε μια συμβουλή για έλεγχο!